基于线性非线性开关自抗扰控制的永磁同步电机算法研究

2023年11月18日 163点热度 0人点赞

抽象的

本文提出了一种线性-非线性切换控制策略，称为切换有源抗扰控制（SADRC），以增强伺服系统中速度控制器的抗扰能力。SADRC结合了线性自抗扰控制（LADRC）和非线性自抗扰控制（NLADRC）的优点，引入了一个参数在非线性和线性控制之间切换，从而提高了伺服系统的鲁棒性。首先，对电机的数学模型进行分析，作为论文的出发点。然后，分析了有源抗扰控制（ADRC）的基本原理，并针对其局限性进行了改进，最终完成了ADRC的设计。对 SADRC 中引入的参数进行分析以确定其适当的范围。最后，通过比较永磁同步电机（PMSM）的旋转效应来验证SADRC的性能。

抽象的

介绍

众所周知，伺服系统以设定值与反馈值之差作为输入。伺服系统常用于工业机械臂、航空航天、数控机床等对电机性能和控制精度要求较高的领域^1 , 2。以工业机械臂为例，伺服系统的控制性能直接决定了生产线的生产速度和产品质量。因此，提高伺服系统的鲁棒性具有重要意义。伺服系统的整体性能主要由两部分决定。一是硬件方面，如控制芯片的运行速度和控制频率、编码器的精度、^电机^结构^3、4、5^、^电机类型⁶。另一方面是控制算法，不同的控制算法也决定了整个系统的性能。其中速度控制器和电流控制器常用PI控制。由于其简单性和良好的性能，PI控制在工业控制领域得到广泛应用。然而，随着工业要求的不断提高，普通PI控制很难满足高性能伺服系统的要求。通过优化控制算法来提高伺服系统的鲁棒性具有重要意义。许多学者对控制算法进行了深入的研究，如带前馈补偿的比例积分（PI）控制、基于扰动的控制⁷、滑模控制（SMC）^{8 , 9 , 10}、模型预测直接速度控制（MP） -DSC) ¹¹和有源抗扰控制(ADRC)等

^{ADRC最初由韩研究员12}提出。它是现代控制理论与PID控制器相结合创建的一种非线性结构。随后，经过高志强等学者的努力，利用带宽法解决了ADRC的参数整定和线性化问题，使其在工程实践中得以应用^13、14。然而，线性有源抗扰控制（LADRC）增益恒定，导致初始状态误差较大，响应速度较慢。相比之下，非线性有源抗扰控制（NLADRC）具有更高的跟踪精度、更强的抗扰能力和更快的响应速度。^{然而，NLADRC的稳定性和可靠性分析极其困难，这极大地阻碍了ADRC 15、16}的实际应用。因此，如何进一步增强ADRC控制器的鲁棒性仍然是一个挑战。对此，有学者基于ADRC框架进行了进一步的研究。例如，李等人。使用带有扩展状态观察器 (ESO) 的 ADRC 算法来抑制控制系统中的干扰¹⁷。^Qi为NLADRC^{18、19提供了}稳定性证明。赵证明了非线性自抗扰的收敛性，为其应用提供了理论支持²⁰。另一方面，结合LADRC和NLADRC的优点可以极大地提高系统性能。郝先生根据系统输入误差的大小直接选择了LADRC和NLADRC。尽管这种方法操作简单，但它涉及复杂的计算，特别是在控制器切换时刻²¹。Lin 设计了 ESO 模块，但构造的函数具有不连续状态²²。本文构建了ESO模块，添加参数，通过设计结合LADRC和NLADRC优点的开关有源抗扰控制（SADRC）实现从非线性到线性的平滑过渡。最后，通过永磁同步电机（PMSM）的对比实验数据验证了SADRC的性能。

永磁同步电机数学模型

本研究的控制对象是永磁同步电机。假设绕组对称，不考虑磁芯饱和、涡流损耗和磁滞损耗，可以根据电机控制理论推导出永磁同步电机的数学模型。定子侧电压方程如下式所示：（1）。

\left\{\begin{array}{c}{u}_{d}={R}_{s}{i}_{d}+\frac{d{\psi }_{d}} {dt}-\omega {\psi }_{q}\\ {u}_{q}={R}_{s}{i}_{q}+\frac{d{\psi }_{q }}{dt}-\omega {\psi }_{d}\end{array}\right。

\left\{\begin{array}{c}{u}_{d}={R}_{s}{i}_{d}+\frac{d{\psi }_{d}} {dt}-\omega {\psi }_{q}\\ {u}_{q}={R}_{s}{i}_{q}+\frac{d{\psi }_{q }}{dt}-\omega {\psi }_{d}\end{array}\right。

(1)

其中 ,是 dq 坐标系的定子电压分量，是定子磁通分量，是旋转角速度。通量方程为(2)。 $u_{d}$ $u_{q}$ $ψ_{d}$ $ψ_{q}$ $ω$

{\begin{matrix} ψ_{q} = L_{q} i_{q} \\ ψ_{d} = L_{d} i_{d} + ψ_{f} \end{matrix}

(2)

其中、是 d 轴和 q 轴的电感分量，是永磁体磁链。 $L_{d}$ $L_{q}$ $ψ_{f}$

这可以从上面的公式得到：

{\begin{matrix} u_{d} = R_{s} i_{d} + L_{d} \frac{d i_{d}}{d t} - ω_{r} L_{q q} i_{q} \\ u_{q} = R_{s} i_{q} + L_{q} \frac{d i_{q}}{d t} + ω_{r} L_{d} i_{d} + ω_{r} ψ_{f} \end{matrix}

(3)

PMSM 的电磁扭矩方程：

T_{e} = \frac{3}{2} P_{n} [ψ_{f} i_{q} + (L_{d} - L_{q}) i_{d} i_{q}]

(4)

其中为电磁扭矩；为极对数，其他参数同上。PMSM 的机械运动方程： $T_{e}$ $P_{n}$

T_{e} - T_{l} = J \frac{d w_{r}}{d t}

(5)

其中是负载扭矩；是转动惯量。 $T_{l}$ $J$

ADRC控制原理

LADRC控制原理

ADRC主要由跟踪微分器、扩展状态观测器、状态误差反馈控制率三部分组成。自抗扰控制的核心思想是在被控对象的输入/输出信号显着影响系统的最终输出之前主动提取扰动信息。然后利用该信息通过控制信号尽快消除干扰，从而最大限度地减少其对受控量的影响。

本文的控制对象是一阶系统，具体是永磁同步电机。此类电机主要应用于工业机器人手臂领域。可以得到以下状态空间方程。这如下面的等式所示。（6）。

{\begin{matrix} \dot{x_{1}} = x_{2} + b u \\ \dot{x_{2}} = \dot{f (x_{1}, x_{2})} \end{matrix}

(6)

下面的是系统变量，是系统的总扰动系统中，是控制系统增益的估计，是系统输入变量。永磁同步电机采用双闭环矢量控制系统。电流环采用传统的PI控制，而速度环采用SADRC。控制系统是惯性系统。速度从零到达到所需速度需要一定的时间。在初始时刻，期望速度与速度反馈之间存在显着差异，导致较大的超调。为了实现这一目标，过渡过程被设计为逐渐提高速度。该过程的方程式如下： $x_{1}$ $f (x_{1}, x_{2})$ $b$ $u$

{\begin{cases} {\dot{v}}_{1} = v_{2} \\ {\dot{v}}_{2} = - r^{2} (v_{1} - v_{0} (t)) - 2 r v_{2} \end{cases}

(7)

$v_{0} (t)$ 表示给定速度，是速度因子。的跟踪值，是和是速度因子。ESO是ADRC的重要组成部分，用于系统变量的实时估计、总扰动的实时估计和补偿、扰动的消除和改进的控制。对于一阶系统，LESO可以设计如下： $r$ $v_{1}$ $v_{0} (t)$ $v_{2}$ $v_{1}$ $r$

{\begin{cases} e = z_{1} - v_{f} \\ {\dot{z}}_{1} = z_{2} - β_{1}^{'} e + b_{0} u \\ {\dot{z}}_{2} = - β_{2}^{'} e \end{cases}

(8)

其中、是观察者的状态变量，用于跟踪、是总扰动的估计，、和的增益因子分别是，e是估计值和输出值之间的误差。LESO的输出如下： $z_{1}$ $z_{2}$ $z_{1}$ $v_{1}$ $z_{2}$ $β_{1}^{'}$ $β_{2}^{'}$ $z_{1}$ $z_{2}$

u = \frac{u_{0} - z_{2}}{b_{0}}

(9)

在一阶线性系统中，LSEF可以设计P控制：

u_{0} = K_{1} (v_{1} - z_{1})

(10)

其中是误差的增益因子。 $K_{1}$

NLADRC控制原理

一阶NLADRC过渡过程在LADRC上进行改进：

{\begin{matrix} {\dot{v}}_{1} = v_{2} \\ {\dot{v}}_{2} = f h a n (v_{1} - v_{0} (t), v_{2}, r, h) \end{matrix}

(11)

$h$ 是步长。“ ”是最快的跟踪函数，如下： $fhan$

{\begin{cases} d = r h^{2}, a_{0} = h x_{2}, y = x_{1} + a_{0}, a_{1} = \sqrt{d (d + 8 | y |)} \\ a_{2} = a_{0} + s i g n (y) (a_{1} - d) / 2 \\ a_{3} = (s i g n (y + d) - s i g n (y - d)) / 2 \\ a_{4} = (a_{0} + y - a_{2}) a_{3} + a_{2} \\ a_{5} = (s i g n (a_{4} + d) - s i g n (a_{4} - d)) / 2 \\ f h a n (x_{1}, x_{2}, r, h) = - r (\frac{a_{4}}{d} - s i g n (a_{4})) a_{5} - r s i g n (a_{4}) \end{cases}

(12)

NLADRC和LADRC的转换过程类似，f可以替换为“ ”函数。NLESO 引入非线性函数，使得观测器具有“误差小、增益大、误差大、增益小”的特点”，具体表达如下： $fhan$ $f a l (e, α_{i}, δ)$

{\begin{cases} e = z_{1} - y \\ {\dot{z}}_{1} = z_{2} - β_{1} f a l (e, α_{1}, δ) + b_{0} u \\ {\dot{z}}_{2} = - β_{2} f a l (e, α_{1}, δ) \end{cases}

(13)

的表达式为： $f a l (e, α_{i}, δ)$

f a l (e, α_{i}, δ) = {\begin{cases} \frac{e}{δ^{1 - α_{i}}} | e | \leq δ \\ | e |^{α_{i}} s i g n (e) | e | > δ \end{cases}

(14)

其中、是增益因子，、和是待定参数。非线性状态误差反馈率也被引入到非线性函数中，如下： $β_{1}$ $β_{2}$ $α_{1}$ $α_{2}$ $δ$ $f a l (e, α_{i}, δ)$

u_{0} = k_{1} fal (v_{1} - z_{1}, α_{1}^{'}, δ^{'})

(15)

其中，为可调参数，和是 NLSEF 的两个待定参数。 $k_{1}$ $α_{1}^{'}$ $δ^{'}$

南防研究中心设计

LADRC和NLADRC各有优势。LADRC的特点是参数调整方便，工程上易于实现。当误差较大时，它特别有效，因为它允许较大的控制增益。NLADRC具有“误差小、增益大、误差大、增益小”的特点。也就是说，NLADRC在误差较小时具有较强的调节能力。作为一个开关，SADRC在误差较小时切换到NLADRC，在误差较大时切换到LADRC，有效地利用了LADRC和NLADRC的优点。SADRC的框架如图1所示，给出了速度，速度步长在TD部分均匀增加SESO是系统扩展状态观测器，用于实时检测系统状态变量。SSEF是状态误差反馈率，对输入误差信号进行处理，输出与观测器的补偿值不同。最后输入控制系统。 $v_{f}$ $u_{0}$

在TD部分，LADRC和NLADRC没有明显的区别，不需要创建单独的拨动开关。实验中，TD部分的离散形式设计如下。

{\begin{cases} f = - r^{2} (v_{1} - v_{f}) - 2 r v_{2} \\ v_{1} = v_{1} + v_{2} h \\ v_{2} = v_{2} + f h \end{cases}

(16)

其中和是中间变量，是给定速度。 $f$ $v_{2}$ $v_{f}$

SESO和SSEF的设计

SADRC的核心在于功能，不仅需要满足NLADRC在“误差小”情况下良好的控制效果，还要求LADRC在误差较大时有较大的增益。图 2的函数曲线。 $f a l_{s} (e, α_{i}, δ_{1}, δ_{2})$ $f a l (e, α_{i}, δ)$

的值越小的非线性越强函数。另外，误差较小时增益较大，误差较大时增益增加较慢。线性区间的临界点， δ越小，线性区间越小函数，非线性越强。在NLADRC中，一般通过不断调试、两个参数使系统的控制效果适中，但无法保证系统能够保持较高的运行速度。误差大范围变化时的控制效果。因此，本文设计了一类即使误差在较大范围内波动也能保持高增益和快速响应速度的函数曲线，并且\(函数设计如下： $α_{i}$ $f a l (e, α_{i}, δ)$ $f a l (e, α_{i}, δ)$ $f a l (e, α_{i}, δ)$ $α_{i}$ $δ$ $f a l_{s} (e, α_{i}, δ_{1}, δ_{2})$

f a l_{s} (e, α_{i}, δ_{1}, δ_{2}) = {\begin{cases} {e δ}_{1}^{α_{i} - 1} | e | \leq δ_{1} \\ {| e |}^{α_{i}} s i g n (e) δ_{1} < | e | < δ_{2} \\ K_{c} e δ_{2}^{α_{i} - 1} | e | \geq δ_{2} \end{cases}

(17)

其中，为了保证系统性能，一般取值为1，可以根据系统的需要进行调整。与函数，引入、改变了大误差条件下控制器的增益，即融合了LADRC在大误差条件下的优点。图像函数如下所示。从曲线可以看出，当误差范围为时，SADRC呈现非线性特性，当误差范围为，SADRC 具有 LADRC 的属性，功能结合了LADRC和NLADRC的优点。对系统的影响如图3所示。 $K_{c}$ $f a l_{s} (e, α_{i}, δ_{1}, δ_{2})$ $f a l (e, α_{i}, δ)$ $δ_{2}$ $δ_{2}$ $f a l_{s} (e, α_{i}, δ_{1}, δ_{2})$ $- δ_{1} < e < δ_{1}$ $| e | \geq δ_{2}$ $f a l_{s} (e, α_{i}, δ_{1}, δ_{2})$ $δ_{2}$

本实验中，SADRC应用于伺服控制的速度环，因此系统输出y为速度反馈，则SESO可设计为： $v_{f}$

{\begin{cases} e = z_{1} - v_{f} \\ {\dot{z}}_{1} = z_{2} - β_{1} f a l_{s} (e, α_{1}, δ_{1}, δ_{2}) + b_{0} u \\ {\dot{z}}_{2} = - β_{2} f a l_{s} (e, α_{2}, δ_{1}, δ_{2}) \end{cases}

(18)

其中为跟踪速度给定的状态变量，为系统干扰值，、为待定系数，u 为系统输出，如下： $z_{1}$ $z_{2}$ $β_{1}$ $β_{2}$

u = \frac{u_{0} - z_{2}}{b_{0}}

(19)

$u_{0}$ 是SSEF的输出，本实验采用一阶SADRC，因此SSEF直接采用比例控制，SSEF设计为：

u_{0} = k_{p} f a l_{s} (e, α_{1}^{'}, δ_{1}^{'}, δ_{2}^{'})

(20)

SADRC参数调整

SESO

扩展状态观测器是抗扰控制的核心，实时观测并补偿系统扰动。待确定的参数有：、、、、、。、可以根据带宽方式进行调整。为了保证系统稳定性，、、、可以简化为： ,，具体参数设置过程如下。 $β_{1}$ $β_{2}$ $α_{1}$ $α_{2}$ $δ_{1}$ $δ_{2}$ $β_{1}$ $β_{2}$ $α_{1}$ $α_{2}$ $δ_{1}$ $δ_{2}$ ${0 < α}_{1} < α_{2} < 1$ ${0 < δ}_{1} {< δ}_{2} \leq 1$

对(18)式进行拉普拉斯变换可得：

{\begin{cases} e = z_{1} - v_{f} \\ {s z}_{1} = z_{2} - β_{1} f a l_{s} (e, α_{1}, δ_{1}, δ_{2}) + b_{0} u \\ {s z}_{2} = - β_{2} f a l_{s} (e, α_{2}, δ_{1}, δ_{2}) \end{cases}

(21)

参数调整参考的带宽方法，设 ,，(21) 可写为： $f a l_{s} (e, α_{1}, δ_{1}, δ_{2}) = λ_{1} (e) e$ $a l_{s} (e, α_{2}, δ_{1}, δ_{2}) = λ_{2} (e) e$

{\begin{cases} e = z_{1} - v_{f} \\ {s z}_{1} = z_{2} - β_{1} λ_{1} (e) e + b_{0} u \\ {s z}_{2} = - β_{2} λ_{2} (e) e \end{cases}

(22)

由(22)式，我们得到如下传递函数模型：

z_{1} = \frac{β_{1} λ_{1} (e) v_{f} s + β_{2} λ_{2} (e) v_{f} + b_{0} u s}{s^{2} + β_{1} λ_{1} (e) s + β_{2} λ_{2} (e)}

(23)

z_{2} = \frac{β_{2} λ_{2} (e) s v_{f} - β_{2} λ_{2} (e) b_{0} u}{s^{2} + β_{1} λ_{1} (e) s + β_{2} λ_{2} (e)}

(24)

^{参考文献16}的参数调整，，，SESO对系统输出有很好的抑制作用，分析时可以忽略u的影响。 $β_{1} = 3 w_{0}$ $β_{2} = 0.6 w_{0}^{2}$

\frac{z_{1}}{v_{f}} = \frac{3 w_{0} s + 0.6 w_{0}^{2}}{s^{2} + 3 w_{0} s + 0.6 w_{0}^{2}}

(25)

由传递函数可以得到系统的频域特性分析图，从图4可以看出，的增加，SADRC的动态性能为更好的。的增大也使得电机控制效果更加理想，太大的会导致电机抖动和电机噪音。因此，在参数调整过程中，应从小值开始逐渐增大，电机晃动时的就是其临界值。越小，SADRC的非线性越强，但太小会导致电机产生高频振荡，在本实验中，分别取 0.25 和 0.5和，分别为和确定SADRC非线性区间的大小，根据系统要求，和分别为 0.05 和 1。 $w_{0}$ $w_{0}$ $w_{0}$ $w_{0}$ $w_{0}$ $α_{i}$ $α_{i}$ $α_{1}$ $α_{2}$ $δ_{1}$ $δ_{2}$ $δ_{1}$ $δ_{2}$

TD

该表达式中有两个可调参数，步长h和速度因子r。步骤h设置为0.01s，当电机从禁止转速到额定转速时，不同速度系数r的曲线如图5所示，其中黑线为给定速度，红线为通过速度输出的转变过程，蓝线是速度反馈。横坐标代表时间，4ms/刻度，纵坐标代表速度（以下坐标图均基于此标准）。 $v_{1}$

从图5可以看出，当r为5和10时，上升时间分别为344ms和192ms（每4ms采样一次），当r增加到200时，几乎与给定速度一致。因此，随着r的增大，电机可以更快地达到额定转速，但r太大会使过渡过程无效。本实验中取r =200，h =0.01。 $v_{1}$

SSEF

将SEF ，命名为SSEF。状态误差反馈控制率如式(1)所示。( 20 )，直接使用比例控制，待定参数为：、、、、其中、、与 SESO 中的三个参数类似，只是需要进行微调。一般而言，应在区间 [0.01, 0.1] 内。因此，在本实验中、和分别取 0.5、0.1 和 1。决定了系统的鲁棒性，越大，系统越稳定，但控制效果相对较差。类似于 PD 控制的，并且和分别取20和380。 $f a l_{s} (e, α_{i}, δ_{1}, δ_{2})$ $k_{p}$ $α_{1}'$ $δ_{1}'$ $δ_{2}'$ $b_{0}$ $α_{1}'$ $δ_{1}'$ $δ_{2}'$ $δ_{1}'$ $α_{1}'$ $δ_{1}'$ $δ_{2}'$ $b_{0}$ $b_{0}$ $k_{p}$ $k_{1}$ $b_{0}$ $k_{p}$

实验结果与分析

实验平台

为了评估SADRC的性能，本文在以下平台上进行了实验，并将实验数据与LADRC和NLADRC的实验数据进行了比较。本文选用的实验电机为400W带保持栅线的表贴式永磁同步电机。在阶跃实验和稳态实验中，电机均处于欠载状态，负载大小为1kg，如图6 所示。由于实验不需要位置信息，因此采用速度-电流双闭环模式。绝对编码器监控并提供电机速度的实时反馈。表面贴装永磁同步电机是一种隐极电机，采用控制策略，保证Q轴电流与输出扭矩之间的线性关系。表1提供了 PMSM 参数的完整列表。 $i_{d} = 0$

表 1 PMSM 参数列表。

全尺寸桌子

在本实验中，SADRC应用于伺服控制的速度环，而电流环由PI控制器控制，电机旋转由磁场定向控制（FOC）控制。通过使用采样电阻获取电流信息来实现闭环控制。最后，实验采用5kHz的PWM载波频率，具体控制框图如图 7所示。

电机额定转速为3000rpm，大电流模块可提供310V电压。MCU采用STM32F407芯片，最高频率168MHz。该频率足以满足LADRC、NLADRC和SADRC的控制频率要求。空气开关负责电路保护，上位机负责算法参数调整、数据采集、数据整理。

步骤实验

工业机械臂动作的本质在于永磁同步电机的旋转。在两个给定速度下分析 PMSM 的速度曲线：1000 rpm 和 3000 rpm。黑线代表速度给定曲线，红线代表速度反馈曲线。这如图所示。参见图8和图 9。图 10显示了 PMSM 速度下降相位曲线。下图横轴表示时间，具体刻度为4ms/1。

因此，LADRC 控制对速度上升和下降阶段有积极的影响，但它在初始启动期间会经历延迟并导致显着的超调。在速度反馈曲线的上升和下降阶段，NLADRC 偏离速度给定曲线，并且这种偏差增大。这是由于NLADRC的非线性函数特性造成的。随着误差的增加，NLADRC 的增益以较慢的速率增加，从而导致 NLADRC 速度反馈的过冲最小。SADRC在响应时间、超调量、调整时间等方面具有明显优势，具体数据如表2（补充资料）所示。

表2 PMSM启停性能比较。

全尺寸桌子

稳态性能

工业机械臂的整体稳定性取决于电机的稳态性能。本文通过比较三种控制算法的速度曲线的稳态误差来反映稳态性能，如图 11所示。

NLADRC 是非线性的，当速度达到稳定状态时容易出现高频振荡。可以通过调整相应参数来衰减高频振荡，但这也可能导致控制效果恶化。表3显示了三个控制器的平均稳态误差。

表3 PMSM稳态误差比较。

全尺寸桌子

负载突变实验

为了测试控制系统的抗干扰能力，设计了负载突变实验。实验以500 rpm的速度运行，并提供瞬时1.5 N m的力矩来检测A相电流信息。为了增强系统的准确性，我们扩展了本次实验中收集的当前信息。这如图所示。 12、13、14。_ _ _ _ 其中红色曲线为A相电流，蓝色曲线为Q轴电流。

从实验曲线可以看出，在1.5 N·m的负载突变过程中，LADRC的抗干扰能力相对较弱。当前响应时间的具体数据如表4所示。

表4 负载突变调整时间。

全尺寸桌子

结论

针对LADRC和NLADRC在实际工程中的优缺点，设计了SADRC，综合LADRC和NLADRC的优点，增强PMSM的控制效果。由于，当误差在较大范围内变化时，SADRC仍能保持良好的控制效果。通过步进实验、稳态实验和负载突变实验，比较了LADRC、NLADRC和SADRC的实际效果，实验结果验证了SADRC的优越性。 $f a l_{s} (e, α_{i}, δ_{1}, δ_{2})$

数据可用性

本研究期间生成或分析的数据集可根据合理要求从相应作者处获得。

参考

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基于线性非线性开关自抗扰控制的永磁同步电机算法研究

抽象的

抽象的

介绍

永磁同步电机数学模型